Il modello matematico

CHE COSA FAR NOTARE

Sarebbe opportuno fare sì che i ragazzi arrivino progressivamente alle schematizzazioni proposte nella figura e solo in un secondo tempo possano lavorare sulla scheda proposta. È importante sottolineare che la relazione tra aree e quadrati delle distanze è del tutto generale, perché ci serviamo del formalismo algebrico per scrivere l’ultima riga della tabella; oppure possiamo ricavare la relazione anche con considerazioni di similitudine.

Nella parte per i ragazzi non si sono scritti tutti i passaggi con le proporzioni, ritenendoli improponibili all’interpretazione di un allievo, se non viene guidato. Qui si dà cenno di una possibile argomentazione, a partire dalla conclusione che il rapporto tra due aree è uguale al quadrato del rapporto tra le corrispondenti distanze.

Scriviamo la proporzione, ricavata dalla tabella precedente:

A₁: A_n = d₁²: d_n²;

ricaviamo A_n:

A_n = (A₁·d_n²) / d₁² = (A₁/d₁²)·d_n²;

A₁/d₁² è un rapporto costante (cioè non dipende da n), che chiamiamo h; quindi:

A_n = h·d_n²

Concludiamo che:

l'energia luminosa emessa in ogni istante dalla sorgente si conserva all'interno del cono e, allontanandosi dalla sorgente, si distribuisce su aree sempre più grandi che variano come i quadrati delle distanze;
indichiamo con k l’energia luminosa emessa in ogni istante dalla sorgente; l’intensità luminosa è data da:

I = k/A

sappiamo però che A_n = h·d_n²; quindi la relazione tra I e d sarà:

I = k/A= k/(h·d_n²)= k/h·1/d_n²

Se indichiamo con a il rapporto k/h che dipende da ...., abbiamo:

I = a·1/d_n²

CHE COSA SUCCEDE

Stiamo costruendo con i ragazzi il modello matematico. Procediamo per gradi.

Iniziamo con un modello materiale che, anche se abbastanza rozzo, colpisce la fantasia dei ragazzi.

Disponiamo un certo numero di spaghetti (proprio la pasta!) come in figura.

Possiamo assimilare la figura a un doppio cono: le sezioni perpendicolari all’asse diventano più grandi a mano a mano che ci allontaniamo dal vertice; il numero di spaghetti che intercetta ogni sezione è però costante; potremmo dire che diminuisce il numero di spaghetti per unità di superficie.

Attenzione però: c’è il rischio che i ragazzi identifichino tout-court il singolo spaghetto con un raggio di luce. Possono sorgere equivoci che si manifestano con domande del tipo: dove non passano gli spaghetti c’è il buio? Quindi bisogna far notare che tutto andrebbe meglio se il numero di spaghetti fosse infinito, e gli spaghetti fossero così filiformi da non avere spessore (un diametro che tende a zero), .... Insomma, questo modello ci può solo servire a iniziare un ragionamento con un’immagine che ci colpisce, ma non dobbiamo affezionarci ad esso più di tanto, come per altro succede sempre con i modelli.

Riflettiamo sul cono di luce e sulle sue sezioni, come dato nella traccia precedente.
Utilizziamo la relazione trovata tra le grandezze della geometria per interpretare il fenomeno fisico.

PER APPROFONDIRE

È importante, trovata “la formula”, verificare quanto questa ben interpreta il fenomeno. Evidentemente dobbiamo conoscere il valore della costante nella formula. Per l’esperimento riportato nella PARTE PRIMA il valore di k è ....... (k dipende da ..... ; mettere la spiegazione per gli insegnanti)

Chiediamo ai ragazzi di costruire il grafico “teorico” nel piano cartesiano e confrontarlo poi con il grafico empirico costruito con le misure: utilizziamo le stesse scale per i due grafici (sarebbe inoltre opportuno o tracciare i due grafici nello stesso piano cartesiano o tracciare il secondo sulla carta da lucido in modo da avere un confronto immediato).

La seguente figura illustra il confronto.

FIGURA

Abbiamo due curve: cerchiamo di cogliere le profonde differenze tra un grafico “empirico” e un grafico che visualizza una relazione matematica.

[Vanno inserite considerazioni sulla continuità e la discretizzazione che proviene dalla misura, sull’intervallo che possiamo considerare per la variabile indipendente, ecc.]

[Ampliare il discorso sulla valutazione della validità e della generalità di un modello]

[Avviare con i ragazzi una riflessione, ponendo la domanda: perché è importante, quando è possibile, arrivare alla “formula”?]