Un modello matematico

CHE COSA FAR NOTARE

È importante sottolineare che il procedimento con cui abbiamo ricavato la formula è del tutto generale, perché è sufficiente cambiare la percentuale di luce trasmessa a seconda del tipo di materiale che consideriamo e dello spessore delle lastrine.

La relazione trovata ci dice che il modo di decrescere dell’intensità è di tipo esponenziale (y=a^x, con 0<a<1); aiutiamo i ragazzi a capire che il modo di decrescere che stiamo esaminando è molto diverso da quelli a loro noti: lineare, di proporzionalità inversa, dell’inverso del quadrato.

CHE COSA SUCCEDE

Ripercorriamo con i ragazzi i seguenti passaggi per costruire il modello matematico:

Con passaggi algebrici siamo arrivati alla formula I_n= (90/100)ⁿI₀.
Abbiamo considerato lo spessore di una lastrina e i multipli interi di tale spessore. Possiamo però pensare che un qualsiasi materiale continuo si può sempre pensare scomponibile in un grande numero di strati di piccolo spessore (sarebbe meglio dire: in un numero sempre più grande di strati con spessori sempre più piccoli). Passando al continuo la relazione avrà quindi una forma del tipo I_x= k^xI₀ (con 0<k<1).
Possiamo ora utilizziamo la relazione trovata per interpretare il fenomeno fisico.

Facciamo riflettere i ragazzi sull’importanza di questo studio perché nella nostra realtà la luce si propaga attraverso vari mezzi: l’aria, l’acqua, ecc.

PER APPROFONDIRE

È importante, trovata “la formula”, verificare quanto questa ben interpreta il fenomeno. Evidentemente dobbiamo conoscere la percentuale di luce trasmessa. Per l’esperimento riportato nella PARTE PRIMA tale valore è circa uguale al 90%. (dipende dal tipo di materiale, dallo spessore, ..... ; ); possiamo infatti notare che i rapporti I_i+1/I_i oscillano intorno al valore 0,9.

Chiediamo ai ragazzi di costruire il grafico “teorico” nel piano cartesiano e confrontarlo poi con il grafico empirico costruito con le misure: utilizziamo le stesse scale per i due grafici (sarebbe inoltre opportuno o tracciare i due grafici nello stesso piano cartesiano o tracciare il secondo sulla carta da lucido in modo da avere un confronto immediato).

Abbiamo due curve: cerchiamo di cogliere le profonde differenze tra un grafico “empirico” e un grafico che visualizza una relazione matematica.